Fue hijo del organista y compositor Johann Paul Kunzen y su esposa Dorothea Selner. Kunzen recibió formación musical de su padre, y luego continuó sus estudios en Hamburgo con Jakob Wilhelm Lustig. Pronto fue considerado un niño prodigio musical y realizó giras de conciertos por Holanda e Inglaterra. En agosto de 1728 tocó el violín para la pareja real danesa en Aurich.  Durante su empleo como concertino (desde 1749) para el duque Christian Ludwig II de Mecklenburg (-Schwerin), ocasionalmente escribió composiciones. Se conocen 2 arias para la serenata para el banquete de los conductores escanianos (1744) y su respectivo texto. En 1748, el "Lieder zum Innulpente Verse" apareció en Hamburgo al estilo de las galantes odas y canciones de Joh. Val. Görner, con las melodías de Kunzen, a menudo más ornamentadas. 

Edición discográfica con dos canciones de Adolf Carl Kunzen

Nombrado Kapellmeister en Schwerin en 1752, renunció a su cargo solo un año después como resultado de disputas. Luego se fue a Londres, donde pasó la mayor parte de su tiempo, de 1754 a 1757.  Cuando su padre murió en Lübeck como organista y jefe de la Marienkirche, asumió su cargo en 1757 y así ascendió a la cima de la vida musical en la ciudad hanseática. Kunzen había sido masón desde 1745; aceptado inicialmente en la Logia Absalom de Hamburgo, se convirtió en miembro de la Logia St. George en noviembre de 1745. Alrededor de 1760 Kunzen se casó con Charlotte Aubert, de Bremen. La pareja tuvo dos hijos, Friedrich Ludwig Æmilius Kunzen (1761–1817) y Louise Friederica Ulrica (1765–1839), que se convirtió en cantante de la corte en Ludwigslust.

Después de que un derrame cerebral paralizara su mano derecha en 1772, su posterior sucesor, Johann Wilhelm Cornelius v. Königslöw (1745–1833) fue agregado como adjunto. Kunzen dejó una extensa obra, conservada en gran parte en forma manuscrita, de la que aún falta un índice definitivo. Sus obras de la época en que trabajó en Schwerin revelan una independencia que anima el ambiente artístico. Al igual que su padre, compuso una serie de importantes oratorios en cinco partes sobre historias bíblicas para el ciclo de conciertos públicos, el Abendmusiken, que se había establecido firmemente en la Marienkirche al menos desde Dietrich Buxtehude, incluido el “Abgötterey in der Wüsten de Israel” (1758), “Absalón” (1761) y “Goliat” (1762). En ellos llaman la atención los grandes coros, que se caracterizan por una expresión dramáticamente viva y por la liberalidad en la disposición y combinación de multitudes, superando así el nivel alcanzado en el norte de Alemania por Telemann y Mattheson. 

Es inconfundible la influencia de George Frideric Haendel, cuyos oratorios Kunzen probablemente conoció en Londres. Las obras instrumentales de los años en Schwerin y Londres rinden homenaje al estilo galante y sensible que Carl Philipp Emanuel Bach había moldeado como compositor pionero. Kunzen se mantuvo firme en la tradición de la vida musical de Lübeck, pero también le dio un nuevo impulso al ser el primero en interpretar regularmente obras de compositores extranjeros y al apoyar conciertos de aficionados.